基本的なことですが、 関数と微分を並べると
x^2 2x
x 1
logx 1/x
x^-1 -1/x^2
などとなり、
log x の微分が 1/x というところだけ、すんなり並んでいません。
直観的に分かりやすい説明はありますか。
ご指摘の点は、数学を学ぶ多くの人が感じる「違和感」です。
「$x^n$ を微分すると $n x^{n-1}$ になる」というおなじみのルール（べき乗の微分公式）の中で、$1/x$（つまり $x^{-1}$）だけが、元の関数がべき乗（$x^n$の形）ではないというのは、確かに仲間外れに見えますよね。
これを直感的に納得するための「3つのステップ」をご説明します。
1. 「階段の穴」を埋める存在
まず、微分の逆である「積分」の視点で並べてみると、なぜ $\log x$ がそこに必要なのかが見えてきます。
- $x^2$ を積分すると $\frac{1}{3}x^3$
- $x^1$ を積分すると $\frac{1}{2}x^2$
- $x^0$ (1) を積分すると $x^1$
- $x^{-1}$ ($1/x$) を積分すると ？？？
- $x^{-2}$ を積分すると $-x^{-1}$
べき乗の積分公式 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$ を使おうとすると、$n = -1$ のときだけ分母が 0 になって計算ができなくなります。
数学の世界にぽっかり空いたこの「階段の穴」に、ピタッとはまり込むピースが $\log x$ だったのです。いわば、「べき乗のルールが壊れる特殊な場所を補うために、ログが登場した」と考えることができます。
2. 「倍々の変化」と「足し算の変化」
$\log x$ の微分の本質を直感的に捉えるには、対数の性質に注目します。
$\log x$ というのは、「$x$ が何倍になったか」を「足し算」に変える関数です。
- $\log(10 \times x) = \log x + \log 10$
ここで、微分（グラフの傾き）を考えてみましょう。
「$x$ が 10 から 11 に増えたとき」と「$x$ が 100 から 101 に増えたとき」を比べます。
- $x=10$ のとき： 1 増えることは、全体の 1/10 (10%) 増えること。
- $x=100$ のとき： 1 増えることは、全体の 1/100 (1%) しか増えないこと。
対数関数にとって、大事なのは「何％増えたか」です。
$x$ が大きくなればなるほど、同じ「1」の増加の影響力（グラフの傾き）は小さくなっていきます。それも、$x$ の大きさに反比例して小さくなります。
だから、「傾き ＝ $1/x$」 になるのです。これは非常に納得感のある自然な動きです。
3. 数学的な「つながり」の正体（高度な補足）
実は、$\log x$ は「べき乗の仲間外れ」ではなく、「べき乗の究極の姿」です。
次の式を考えてみます。
$$f_n(x) = \frac{x^n – 1}{n}$$
この関数を微分すると $x^{n-1}$ になります。ここで $n$ を限りなく 0 に近づけていく（極限をとる）と、この式は $\log x$ に一致します。
つまり、
- $n=0.1$ のときの $x^n$ っぽい関数
- $n=0.01$ のときの $x^n$ っぽい関数
- $n=0.0001$ のときの $x^n$ っぽい関数
と並べていくと、その極限の姿が $\log x$ なのです。
まとめ
並びがバラバラに見えるのは、「$x^0$ から $x^1$ へジャンプする瞬間に、べき乗の公式が特異点を起こして形を変えた姿」が $\log x$ だから、と言えます。
- 積分で見ると： 公式が使えない穴を埋める唯一の存在。
- 動きで見ると： 「$x$ の大きさに反比例して変化率が減る」という自然な姿。
こう考えると、$\log x$ の微分が $1/x$ になるのは、むしろ「そこにあるべくしてある」と感じられるのではないでしょうか。
「$e^x$ の微分が $e^x$（自分自身）」という性質と、「逆関数のグラフは鏡写し」という性質を組み合わせると、$\log x$ の微分が $1/x$ になる理由は非常にスッキリと説明できます。
直感的に理解できるよう、3つのステップで紐解いてみましょう。
1. 指数関数 $e^x$ のすごい性質
まず、$y = e^x$ というグラフを思い浮かべてください。
この関数の最大の特徴は、「その瞬間の高さ（$y$の値）が、そのままグラフの傾き（微分）になる」ということです。
- 高さが 1 の地点（$x=0$）では、傾きは 1
- 高さが 2 の地点（$x \fallingdotseq 0.69$）では、傾きは 2
- 高さが $10$ の地点では、傾きは 10
つまり、「傾き ＝ $y$」 です。
2. 逆関数は「鏡の世界」
対数関数 $y = \log x$ は、指数関数 $y = e^x$ の逆関数です。
グラフで言うと、「$y=x$」という斜めの線を鏡にして、ひっくり返した形をしています。
この鏡の世界（逆関数）では、$x$ と $y$ の役割が完全に入れ替わります。
ここで重要な法則があります。
- 元の世界の傾きが 「2」（1進むと2上がる）なら、
- 鏡の世界の傾きは 「1/2」（2進むと1上がる）になる。
つまり、逆関数の傾きは、元の関数の傾きの「逆数（ブンノイチ）」になるという性質があります。
3. ガッチャンコして結論へ
さて、この2つを組み合わせてみましょう。
- 指数関数の世界： 傾きは、そのときの「$y$ の値」と同じ。
- 対数関数の世界（鏡の世界）： 傾きは、指数関数の傾きの「逆数」になる。
- つまり、傾き ＝ $1 / (e^y)$
ここで、対数関数の世界における「$e^y$」とは何でしょうか？
$y = \log x$ なのですから、$e^y$ はまさに $x$ そのものです。
したがって、
対数関数 $\log x$ の傾き ＝ $1 / x$
イメージ図でまとめると
- $e^x$ の世界：
「今、高さが $10$ だから、傾き（勢い）も $10$ だぜ！」 - 鏡を通した $\log x$ の世界：
「$x$ が $10$ の地点に来たぞ。あっちの世界（指数）では高さ $10$ のとき傾きが $10$ だったから、こっちの世界ではその逆数で、傾きは $1/10$ になるんだな。」
これが、「指数関数の傾きが自分自身だから、逆数である対数の傾きは $1/x$ になる」 というロジックの正体です。
他の $x^n$ の仲間たちは「自分の形を少し変えて」微分になりますが、$\log x$ は「鏡の向こう側にいる $e^x$ の振る舞い」を反映しているため、あのようなスッキリした（でも他とは違う）形になっているのです。
