虚数単位 $i$ を $i$ 乗した値（$i^i$）を計算する方法

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虚数単位 $i$ を $i$ 乗した値（$i^i$）を計算する方法は、主に「複素対数関数を用いる方法」と数式を直接変形する「オイラーの公式を用いる方法」の2つがあります。

驚くべきことに、結果は虚数ではなく実数になります。

これが最も数学的に厳密で、標準的な解法です。複素数の累乗 $a^b$ は、指数関数の性質を用いて $e^{b \ln a}$ と書き換えることができます。

手順:

公式の適用:
$$i^i = e^{\ln(i^i)} = e^{i \ln i}$$
と変形します。
$\ln i$ を求める:
複素数の対数 $\ln z$ は、一般に次のように定義されます（多価関数）。
$$\ln z = \ln|z| + i(\arg z + 2n\pi)$$
ここで、$i$ の絶対値 $|i|$ は $1$、偏角 $\arg i$ は $\frac{\pi}{2}$ です。
したがって、
$$\ln i = \ln(1) + i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)$$
$\ln(1) = 0$ なので、
$$\ln i = i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) \quad (n \text{ は整数})$$
元の式に代入する:
$$i^i = e^{i \cdot [i(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)]}$$
$$i^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2n\pi)}$$
$i^2 = -1$ なので、
$$i^i = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)}$$

結果:
$n=0$ としたときの主値は、
$$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0.2078…$$
となります。これは実数です。

対数の定義を介さず、より直感的に「形」を変形していく方法です。

手順:

$i$ を極形式で表す:
オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を利用します。
$i$ は複素平面上で、角度 $\frac{\pi}{2}$ の位置にあるので、
$$i = e^{i\frac{\pi}{2}}$$
と書くことができます（これは方法1の計算過程の一部でもあります）。
累乗を実行する:
この $i$ を $i$ 乗します。
$$i^i = \left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^i$$
指数の法則を適用する:
指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を使います。
$$i^i = e^{i \cdot i \cdot \frac{\pi}{2}}$$
$$i^i = e^{i^2 \cdot \frac{\pi}{2}}$$
$i^2 = -1$ なので、
$$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$$

結果:
方法1と同様に、$e^{-\frac{\pi}{2}}$ という実数に辿り着きます。

この計算のポイントは以下の3点です。

指数の性質: 累乗 $a^b$ を計算する際、指数部分を「対数」に変換することで、虚数の掛け算を実数の指数へと変換しています。
$i \times i = -1$: 虚数どうしの掛け算が、符号を反転させて実数（$-1$）を生み出しているため、最終的に $e$ の肩から $i$ が消えます。
多価性: 方法1で示した通り、$n$ に何を入れるかによって無限に解が存在しますが（すべて実数です）、通常は $n=0$ の値を「主値」として扱います。

一見すると、虚数を虚数で累乗しているので、もっと複雑な（虚数を含む）答えになりそうですが、実際には「回転する力（虚数）」を「回転させる力（虚数）」として作用させた結果、回転が止まってしまった（実数になった）とイメージすると面白いかもしれません。